Séquences et séries : terminologie et notation (2023)

La séquence peut également être écrite en fonction de ses termes. Par exemple, la séquence de termesun_je, avec l'index allant deje= 1àje=n, peut s'écrire :

La séquence de termes commençant par index3et continuer éternellement pourrait s'écrire ainsi :

Certains livres utilisent la notation parenthèses ; d'autres utilisent la notation par accolades. Quoi qu’il en soit, ils parlent de listes de termes. La valeur de départ du compteur est appelée « indice inférieur » ; la valeur finale est appelée « indice supérieur ». Le formatage suit l'anglais : l'index inférieur est écrit en dessous de l'index supérieur, comme indiqué ci-dessus. (Le pluriel de « index » est « indices », prononcé INN-duh-seez.)

Remarque : Parfois, les séquences commencent par un index den= 0, donc le premier terme est en faitun₀. Le deuxième terme serait alorsun₁. Le premier terme répertorié dans un tel cas serait appelé le terme « zéro-eth ». Cette méthode de numérotation des termes est utilisée par exemple dans les tableaux Javascript. Ou, comme dans le deuxième exemple ci-dessus, la séquence peut commencer par une valeur d'index supérieure à1. Ne présumez pas que chaque séquence et série commencera par un indice den= 1.

Lorsqu'une séquence n'a pas d'index numérique supérieur fixe, mais "va à l'infini" ("l'infini" étant désigné par ce symbole en huit latéral,∞), la séquence est dite « infinie ». Les séquences infinies ont généralement des indices inférieurs finis. Autrement dit, ils commenceront à un compteur fini, commeje= 1.

Comme mentionné ci-dessus, une séquenceUNavec des termesun_npeut également être appelé "{un_n}", mais contrairement à ce que vous avez pu apprendre dans d'autres contextes, cet "ensemble" est en fait une liste ordonnée, et non une collection non ordonnée d'éléments. (Votre livre peut utiliser une notation autre que celle que je montre ici. Malheureusement, la notation ne semble pas encore avoir été entièrement standardisé sur ce sujet. Essayez simplement de toujours vous assurer, quelle que soit la ressource que vous utilisez, que vous êtes clair sur les définitions des termes et symboles de cette ressource.) Dans un ensemble, il n'y a pas ordre particulier aux éléments, et les éléments répétés sont généralement rejetés comme des doublons inutiles. Ainsi, l'ensemble suivant :

{1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2}

... se réduirait à (et équivaut à) :

{1, 2}

Par contre, la séquence suivante :

{un_n} = {1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2}

...ne peut être réorganisé ou « simplifié » de quelque manière que ce soit.

Les termes d'une séquence peuvent être simplement répertoriés, comme indiqué ci-dessus, ou bien ils peuvent être définis par une règle. Cette règle est souvent liée à l'index. Par exemple, dans la séquenceUNE = {un_je} = {2je+ 1}, leje-ème terme est défini par la règle "2je+ 1", donc les premiers termes sont :

...et ainsi de suite. Parfois, la règle pour une séquence est telle que le terme suivant de la séquence est défini en fonction des termes précédents. Ce type de séquence est appelé séquence « récursive » et la règle est appelée « récursion ». La séquence récursive la plus connue est la séquence de Fibonacci (fibb-oh-NAH-chee). Sa règle de récursion est la suivante :

Ce que dit cette règle, c'est que les deux premiers termes de la suite sont tous deux égaux à1; alors chaque terme après les deux premiers est trouvé en additionnant les deux termes précédents. Donc le troisième terme,un₃, se trouve en ajoutantun₃₋₁=un₂etun₃₋₂=un₁. Les premiers termes de la séquence de Fibonacci sont :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

Pour indiquer une série, on utilise soit la lettre majuscule latine "S" soit la lettre grecque correspondant au "S" majuscule, qui est appelée "sigma" (SIGG-muh) :

Pour montrer la somme, disons, du premier au dixième terme d'une séquence{un_n}, nous écririons ce qui suit :

Tout comme pour la terminologie des séquences, le "n= 1" est appelé "l'indice inférieur", nous indiquant que "n" est le compteur et que le compteur commence à "1"; le "dix" est appelé "l'indice supérieur", nous indiquant queun_dixsera le dernier terme ajouté à cette série ; "un_n" représente les termes que nous allons ajouter. Le tout se prononce comme "la somme, de n est égal à un à dix, de a-sous-n". Le symbole de sommation ci-dessus signifie ce qui suit :

un₁+un₂+un₃+un₄+un₅+un₆+un₇+un₈+un₉+un_dix

La forme écrite ci-dessus est appelée la forme « étendue » de la série, par opposition à la notation « sigma » plus compacte.

N'importe quelle lettre peut être utilisée pour l'index, maisje,j,k,m, etnsont probablement utilisées plus que toute autre lettre.

Certaines règles peuvent aider à simplifier ou à évaluer les séries. Si chaque terme d’une série est multiplié par la même valeur, vous pouvez retirer cette valeur de la série. Cela signifie ce qui suit :

Cela signifie que, si on vous a dit que la somme d'une série particulière a une valeur, disons :15, et que chaque terme de la série est multiplié par, disons,2, vous pouvez trouver la valeur sous la forme :

L’autre règle pour les séries est que, si les termes de la série sont des sommes, alors vous pouvez diviser la série de sommes en une somme de séries. Autrement dit:

Si vous additionnez uniquement les premiers termes d'une série, plutôt que tous (peut-être une infinité) d'entre eux, cela s'appelle « prendre (ou trouver) la somme partielle ». Si, disons, on vous demandait de trouver la somme des huit premiers termes d'une série seulement, vous « trouveriez la huitième somme partielle ».

Les séquences et les séries sont plus utiles lorsqu'il existe une formule pour leurs termes. Par exemple, si la formule des termesun_nd'une séquence est défini comme "un_n= 2n+ 3", alors vous pouvez trouver la valeur de n'importe quel terme en branchant la valeur dendans la formule. Par exemple,un₈= 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19. Dans les mots, "un_n= 2n+ 3" peut être lu comme " len-ème terme est donné par deux-enn plus trois". Le mot "n-th" se prononce "ENN-eth", et signifie simplement "le terme génériqueun_n, où je n'ai pas encore spécifié la valeur den".

Bien sûr, il n'y a pasavoirêtre une formule pour len-ème terme d'une séquence. Les valeurs des termes peuvent être totalement aléatoires, n’ayant aucune relation entrenet la valeur deun_n. Mais les séquences avec des termes aléatoires sont difficiles à utiliser et sont moins utiles en général, vous n'en verrez donc probablement pas beaucoup dans vos cours.