Centre de masse - Formule, mouvement du centre de masse, système de particules (2023)

Qu'est-ce que le centre de masse ?

Le centre de massed'un corps ou d'un système de particule est défini comme un point auquel la totalité de la masse du corps ou toutes les masses d'un système de particule semblent concentrées.En physique, on peut dire que le centre de masse est un point situé au centre de la distribution de la masse dans l'espace (également appelé point d'équilibre), dans lequel la position relative pondérée de la masse distribuée a une somme nulle. En mots simples,le centre de masse est une position relative à un objet. On peut dire que c'est la position moyenne de toutes les parties du système, ouc'est la localisation moyenne d'une distribution de masse dans l'espace. Il s’agit d’un point où une force est généralement appliquée, ce qui entraîne une accélération linéaire sans aucune accélération angulaire.

Lorsque nous étudions la dynamique du mouvement du système d’une particule dans son ensemble, nous n’avons pas besoin de nous soucier de la dynamique des particules individuelles du système. Mais concentrez-vous uniquement sur la dynamique d'un point unique correspondant à ce système.

Le mouvement de ce point unique est identique au mouvement d'une seule particule dont la masse est égale à la somme de toutes les particules individuelles du système et à la résultante de toutes les forces exercées sur toutes les particules du système par les corps environnants ou l'action de un champ de force est exercé directement sur cette particule. Ce point est appelé centre de masse du système de particules. Le concept de centre de masse (COM) est utile pour analyser le mouvement complexe du système d'objets, en particulier lorsque deux objets ou plus entrent en collision ou qu'un objet explose en fragments.

Centre de gravité

Le centre de gravité peut être considéré comme le point par lequel la force de gravité agit sur un objet ou un système. Il s’agit essentiellement du point autour duquel le couple résultant dû aux forces de gravité disparaît. Dans les cas où le champ gravitationnel est supposé uniforme, le centre de gravité et le centre de masse seront les mêmes. Parfois, ces deux termes – centre de gravité et centre de masse – sont utilisés de manière interchangeable, car on dit souvent qu’ils se trouvent au même endroit ou au même endroit.

Système de particules

Le terme système de particules désigne un ensemble bien défini d'un grand nombre de particules qui peuvent ou non interagir les unes avec les autres ou qui sont connectées les unes aux autres. Il peut s'agir de véritables particules de corps rigides en mouvement de translation. Les particules qui interagissent les unes avec les autres s’appliquent une force.

\(\begin{array}{l}\text{La force de l'interaction}\ \overrightarrow{{{F}_{\hat{i}\,\hat{j}}}}\ \text{and}\ \overrightarrow{{{F}_{\hat{j}\,\hat{i}}}}\ \text{entre une paire de}\ i^{th}\ \text{and}\ i^{th }\ \text{particule.}\end{tableau} \)

Ces forces internes existent toujours par paires de même ampleur et de directions opposées. Outre les forces internes, des forces externes peuvent également agir sur tout ou partie des particules. Ici, le terme force externe désigne une force qui agit sur une particule incluse dans le système par un autre corps extérieur au système.

Qu'est-ce qu'un corps rigide ?

En pratique, on a affaire à des corps étendus, qui peuvent être déformables ou indéformables ou rigides. Un corps étendu est également un système d'un nombre infiniment grand de particules ayant une séparation infiniment petite entre elles. Lorsqu'un corps se déforme, la séparation entre la distance entre ses particules et leurs emplacements relatifs change. Un corps rigide est un objet étendu dans lequel les séparations et l'emplacement relatif de toutes ses particules constitutives restent les mêmes en toutes circonstances.

C'est la position moyenne de toutes les parties du système, pondérée en fonction de leurs masses. Pour un objet rigide simple qui a une densité uniforme, le centre de masse est situé au centre de gravité.

Détermination du centre de masse

Si nous voulons déterminer expérimentalement le centre de masse d’un corps, nous pouvons utiliser les forces de gravité sur le corps pour ce faire. Cela est possible principalement parce que le centre de masse est le même que le centre de gravité dans le champ de gravité parallèle près de la surface de la Terre. De plus, le centre de masse d'un corps ayant un axe de symétrie et une densité constante se situera sur cet axe. De même, le centre de masse d’un cylindre circulaire à densité constante aura son centre de masse sur l’axe du cylindre. Si nous parlons d'un corps à symétrie sphérique de densité constante, alors son COM est au centre de la sphère. Si nous en parlons dans un contexte général, pour toute symétrie d’un corps, son centre de masse sera principalement un point fixe de cette symétrie.

Formule du centre de masse

Nous pouvons étendre la formule à un système de particules. L'équation peut être appliquée individuellement à chaque axe,

\(\begin{array}{l}X_{com}= \frac{∑_{i=0}^n~ m_i x_i }{M}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}Y_{com}= \frac{∑_{i=0}^n~ m_i y_i}{M}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}Z_{com} = \frac{∑_{i=0}^n~m_i z_i }{M}\end{array} \)

La formule ci-dessus peut être utilisée si nous avons des objets ponctuels. Mais nous devons adopter une approche différente si nous devons trouver le centre de masse d’un objet étendu comme une tige. Il faut considérer une masse différentielle et sa position puis l'intégrer sur toute la longueur.

\(\begin{array}{l}X_{com}=\frac{∫~x ~dm}{M}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}Y_{com}=\frac{∫~y ~dm}{M} \end{array} \)

\(\begin{array}{l}Z_{com}=\frac{∫~z ~dm}{M} \end{array} \)

Supposons que nous ayons une tige, comme le montre la figure, et que nous devions trouver son centre de masse.

Soit la masse totale de la tigeM,et la densité est uniforme. Nous supposons également que la largeur de la tige est négligeable, c’est-à-dire que le centre de masse se trouve sur l’axe des x. On considère un petit dx éloigné de l'origine. Donc,

\(\begin{array}{l}dm = \frac{M}{l}~ dx\end{array} \)

En utilisant l'équation pour trouver le centre de masse,

\(\begin{array}{l}X_{com}=\frac{∫~\frac{M}{l}~ dx ~.x}{M}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}X_{com}=\frac{∫~ dx ~.x}{l}\end{array} \)

En l'intégrant de 0 à l, on obtient,

\(\begin{array}{l}X_{com}=\frac{l}{2}\end{array} \)

En utilisant la méthode ci-dessus, nous pouvons trouver le centre de masse de n’importe quelle forme géométrique. Vous pouvez essayer un anneau semi-circulaire ou un triangle. Ainsi, si une force est appliquée à cet objet étendu, on peut supposer qu’elle agit par l’intermédiaire du centre de masse et, par conséquent, elle peut être convertie en une masse ponctuelle.

Résumé des formules :

Centre de masse d'un corps ayant une distribution de masse continue

Si l'objet donné n'est pas discret et que leurs distances ne sont pas spécifiques, alors le centre de masse peut être trouvé en considérant un élément de masse infinitésimal (dm) à une distance x, y et z de l'origine du système de coordonnées choisi,

\(\begin{array}{l}{{x}_{cm}}=\frac{\int{xdm}}{\int{dm}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=\frac{\int{ydm}}{\int{dm}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{z}_{cm}}=\frac{\int{zdm}}{\int{dm}}\end{array} \)

Sous forme vectorielle

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{cm}}}=\frac{\int{\overrightarrow{r}dm}}{\int{dm}}\end{array} \)

Centre de masse pour un anneau semi-circulaire de rayon (R) et de masse (M)

Solution:

Considérons un élément différentiel de longueur (dl) de l'anneau dont le rayon vecteur fait un angle θ avec l'axe des x. Si l'angle sous-tendu par la longueur (dl) est dθ au centre, alors

\(\begin{array}{l}dl=Rd\theta\end{array} \)

Alors la masse de l’élément est dm,

\(\begin{array}{l}dm=\lambda Rd\theta\end{array} \)

Depuis,

\(\begin{array}{l} \,\,\,{{x}_{cm}}=\frac{1}{M}\int{xdm}=\frac{1}{M}\int \limits_{0}^{\pi }{R\cos \theta \left( \lambda Rd\theta \right)}=0\end{array} \)

et

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=\frac{1}{M}\int\limits_{0}^{\pi }{\left( R\sin \theta \ droite)\gauche( \lambda Rd\theta \right)}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}=\frac{\lambda {{R}^{2}}}{M}\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \theta d\theta } =\frac{\lambda {{R}^{2}}}{\lambda \pi R}\left( -\cos \theta \right)_{0}^{\pi }\end{array} \)

\(\begin{array}{l}=\frac{2R}{\pi }\end{array} \)

Q. Si la densité de masse linéaire d'une tige de longueur (L) située le long de l'axe des x et d'origine à une extrémité varie comme

\(\begin{array}{l}\lambda =P+Qx\end{array} \)

Solution:

La tige se trouve le long de l'axe des x, donc

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=0\,\,\,and\,\,\,{{z}_{cm}}=0\end{array} \)

Pour

\(\begin{array}{l}{{x}_{cm}}:\end{array} \)

Considérons un petit élément de (dx) à distanceXd'une extrémité de la tige

\(\begin{array}{l}{{x}_{cm}}=\frac{\int\limits_{0}^{L}{x\,dm}}{\int\limits_{0}^ {L}{dm}}\end{array} \)

Masse de l'élément

\(\begin{array}{l}dm=\lambda dx=\left( P+Qx \right)dx\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{x}_{cm}}=\frac{\int\limits_{0}^{L}{x\left( P+Qx \right)dx}}{\ int\limits_{0}^{L}{\left( P+Qx \right)dx}}=\frac{\frac{P{{L}^{2}}}{2}+\frac{Q{ {L}^{3}}}{3}}{PL+\frac{Q{{L}^{2}}}{2}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{x}_{cm}}=\frac{L\left( 3P+2QL \right)}{3\left( 2P+QL \right)}\end{array } \)

Les coordonnées du centre de masse sont donc

\(\begin{array}{l}\left( \frac{L\left( 3P+2QL \right)}{3\left( 2P+QL \right)},0,0 \right)\end{array } \)

Centre de masse d'un disque mince et uniforme de rayon (R)

Solution:

Le disque est une analogie avec un anneau. Nous considérons un anneau élémentaire à y distance de l'origine et d'épaisseur dy.

Comme nous le savons, x_cm= 0 (pour une bague)

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=\frac{2R}{\pi }\ \text{(pour un anneau)}\end{array} \)

Maintenant pour le disque

Le disque est une combinaison d’un nombre N d’anneaux élémentaires.

oui_cmpour un disque c'est

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=\frac{1}{M}\int\limits_{0}^{R}{dm\,y}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}dm=\frac{M}{A}da=\frac{M}{\frac{\pi {{R}^{2}}}{2}}\,\ pi rdr\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=\frac{1}{{M}}\int\limits_{0}^{R}{\left( \frac{{M }}{\frac{{\pi }{{R}^{2}}}{2}}\left( {\pi }rdr \right) \right)}\frac{2r}{\pi }\end {tableau} \)

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=\frac{4}{\pi {{R}^{2}}}\int\limits_{0}^{R}{ {{r}^{2}}dr}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=\frac{4}{\pi {{R}^{2}}}\left[ \frac{{{R}^{ 3}}}{3} \right]\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{y}_{cm}}=\frac{4R}{3\pi }\end{array} \)

Système de particules et centre de masse

Jusqu'à présent, nous avons traité du mouvement de translation des corps rigides où un corps rigide est également traité comme une particule. Mais lorsqu’un corps rigide subit une rotation, toutes ses particules constitutives ne se déplacent pas de manière identique. Pourtant, nous devons le traiter comme un système de particules dans lequel toutes les particules sont rigidement reliées les unes aux autres.

Au contraire, nous pouvons avoir des particules ou des corps qui ne sont pas connectés de manière rigide les uns aux autres mais qui interagissent peut-être les uns avec les autres par le biais de forces internes. Malgré le mouvement complexe dont un système de particules est capable, il existe un point unique appelé centre de masse ou centre de masse dont le mouvement de translation est caractéristique du système.

Centre de masse d'un système de particules

Pour un système constitué de n particules, ayant des masses

\(\begin{array}{l}{{m}_{1}},{{m}_{2}},{{m}_{3}},…{{m}_{n}} \end{tableau} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{1}}},\overrightarrow{{{r}_{2}}},\overrightarrow{{{r}_{3}} },…\overrightarrow{{{r}_{n}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{cm}}}=\frac{{{m}_{1}}\overrightarrow{{{r}_{1}}}+ {{m}_{2}}\overrightarrow{{{r}_{2}}}+{{m}_{3}}\overrightarrow{{{r}_{3}}}+…+{{ m}_{n}}\overrightarrow{{{r}_{n}}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3} }+…+{{m}_{n}}}=\frac{{{m}_{1}}\overrightarrow{{{r}_{1}}}+{{m}_{2}} \overrightarrow{{{r}_{2}}}+{{m}_{3}}\overrightarrow{{{r}_{3}}}+…+{{m}_{n}}\overrightarrow {{{r}_{n}}}}{M}\end{array} \)

Ici,

\(\begin{array}{l}{{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}}+…+{{m}_{n} }=M\fin{tableau} \)

M est la masse totale du système,

Alors,

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{r}_{cm}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{{{r}_{1}}}+{{ m}_{2}}\overrightarrow{{{r}_{2}}}+{{m}_{3}}\overrightarrow{{{r}_{3}}}+…+{{m} _{n}}\overrightarrow{{{r}_{n}}}….(1)\end{array} \)

Soit un instant un système constitué d'un grand nombre de particules

\(\begin{array}{l}{{m}_{1}},{{m}_{2}},{{m}_{3}},…{{m}_{n}} \end{tableau} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{1}}},\overrightarrow{{{r}_{2}}},\overrightarrow{{{r}_{3}} },…\overrightarrow{{{r}_{n}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{m}_{1}},{{m}_{2}},{{m}_{3}},…{{m}_{n}} \end{tableau} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{1}}},\overrightarrow{{{r}_{2}}},\overrightarrow{{{r}_{3}} },…\overrightarrow{{{r}_{n}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{v}_{1}}},\overrightarrow{{{v}_{2}}},\overrightarrow{{{v}_{3}} },…\overrightarrow{{{v}_{n}}}.\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\text{Donc le centre de masse du système situé à}\ \overrightarrow{{{r}_{cm}}}\ \text{se déplace avec vitesse}\ \overrightarrow{{ {v}_{cm}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{V}_{cm}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{{{v}_{1}}}+{{ m}_{2}}\overrightarrow{{{v}_{2}}}+{{m}_{3}}\overrightarrow{{{v}_{3}}}+…+{{m} _{n}}\overrightarrow{{{v}_{n}}}….(2)\end{array} \)

Le mouvement du centre de masse représente le mouvement de translation de l’ensemble du système. La somme du moment linéaire de toutes les particules doit être égale au moment linéaire de toute la masse du système dû au mouvement de translation du centre de masse ou centre de masse.

Nous pouvons également écrire les équations (1) et (2) ci-dessus comme suit :

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{r}_{cm}}}=\sum{{{m}_{i}}\overrightarrow{{{r}_{i}}} }….(3)\end{tableau} \)

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{V}_{cm}}}=\sum{{{m}_{i}}\overrightarrow{{{V}_{i}}} }….(4)\end{tableau} \)

Dans l'équation (3) ci-dessus, l'emplacement du centre de masse d'un système de particules ou de particules discrètes est le suivant :

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{cm}}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}\overrightarrow{{{r}_{i} }}}}{M}….(5)\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{X}_{cm}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{x}_{i}}}}{M}\ fin{tableau} \)

\(\begin{array}{l}{{Y}_{cm}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{y}_{i}}}}{M}\ fin{tableau} \)

\(\begin{array}{l}{{Z}_{cm}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{z}_{i}}}}{M}\ fin{tableau} \)

Système à deux particules

Considérons un système constitué de deux particules de masses et de leurs vecteurs de position

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{1}}}\ \text{and}\ \overrightarrow{{{r}_{2}}}\ \text{distance de séparation entre eux est d.}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\text{Supposons que leur centre de masse soit situé à}\ \overrightarrow{{{r}_{cm}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{cm}}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}\overrightarrow{{{r}_{i} }}}}{M}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{cm}}}=\frac{{{m}_{1}}\overrightarrow{{{r}_{1}}}+ {{m}_{2}}\overrightarrow{{{r}_{2}}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\end{array} \ )

Ses composants dans le système de coordonnées cartésiennes

\(\begin{array}{l}{{X}_{cm}}=\frac{{{m}_{1}}{{x}_{1}}+{{m}_{2} }{{x}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{Y}_{cm}}=\frac{{{m}_{1}}{{y}_{1}}+{{m}_{2} }{{y}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\text{Supposons l'origine au centre de masse (COM) vecteur}\ \overrightarrow{{{r}_{cm}}}.\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\text{Puis}\ \overrightarrow{{{r}_{cm}}}\ \text{Vanishes.}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}0={{m}_{1}}\overrightarrow{{{r}_{1}}}+{{m}_{2}}\overrightarrow{{{r }_{2}}}….(A)\end{array} \)

Soit des masses, m₁et M_2,ne peut pas être négatif. Alors, pour satisfaire la relation ci-dessus,

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{1}}}\ et\ \overrightarrow{{{r}_{2}}}\ \text{doit être dans la direction opposée.} \end{tableau} \)

\(\begin{array}{l}0={{m}_{1}}\left( -\overrightarrow{{{r}_{1}}} \right)+{{m}_{2} }\left( \overrightarrow{{{r}_{2}}} \right)\end{array} \)

Alors

\(\begin{array}{l}{{m}_{1}}\overrightarrow{{{r}_{1}}}={{m}_{2}}\overrightarrow{{{r}_ {2}}}\fin{tableau} \)

\(\begin{array}{l}\frac{\overrightarrow{{{r}_{2}}}}{\overrightarrow{{{r}_{1}}}}=\frac{{{m} _{1}}}{{{m}_{2}}}….(B)\end{array} \)

De l'équation (B)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{1}}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\overrightarrow {{{r}_{2}}}\,\,et\,\,\overrightarrow{{{r}_{2}}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{ m}_{2}}}\overrightarrow{{{r}_{1}}}\end{array} \)

Comme nous le savons, la distance de séparation entre eux est d,

\(\begin{array}{l}d=\overrightarrow{{{r}_{1}}}+\overrightarrow{{{r}_{2}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}d=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\overrightarrow{{{r}_{2}}}+ \overrightarrow{{{r}_{2}}}=\overrightarrow{{{r}_{2}}}\left( \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{ 1}}}+1 \right)\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{2}}}=d\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{ {m}_{2}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{1}}}=d\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{ {m}_{2}}}\end{array} \)

Ceci conclut que le centre de masse du système à deux particules se situe entre les deux masses sur la ligne qui les relie et divise la distance entre elles dans le rapport inverse de leurs masses.

Centre de masse du système avec cavité

Si une partie du corps est retirée, la partie restante du corps est considérée comme ayant

Masse existante = [{masse d'origine (M)} + {-masse de la pièce retirée (m)}]

Supposons qu'il existe un corps de masse totale m et une masse m₁est retiré du corps. Le corps restant aura une masse (m – m₁), et son centre de masse sera aux coordonnées

\(\begin{array}{l}{{X}_{cm}}=\frac{mx-{{m}_{1}}{{x}_{1}}}{m-{{m }_{1}}} :\end{tableau} \)

\(\begin{array}{l}{{Y}_{cm}}=\frac{my-{{m}_{1}}{{y}_{1}}}{m-{{m }_{1}}}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{Z}_{cm}}=\frac{mz-{{m}_{1}}{{z}_{1}}}{m-{{m }_{1}}}\end{array} \)

Où (x, y et z) sont les coordonnées du centre de masse du corps d'origine et

\(\begin{array}{l}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}et\,{{z}_{1}} \right)\end{ tableau} \)

Centre de masse d'un objet étendu (distribution continue de la masse) :

Un corps étendu est un ensemble d’un grand nombre de particules étroitement localisées ; leurs distances ne sont pas spécifiques et nous supposons que le corps est une distribution continue de masse. Considérons une partie infiniment petite de la masse dm du corps, appelée élément de masse. Le vecteur position du centre de masse d'un tel objet est donné par,

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{cm}}}=\frac{\int{\overrightarrow{r}dm}}{M}….(6)\end{array } \)

Ses composants dans le système de coordonnées cartésiennes sont les suivants,

\(\begin{array}{l}{{X}_{cm}}=\frac{\int{xdm}}{M}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{Y}_{cm}}=\frac{\int{ydm}}{M}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}{{Z}_{cm}}=\frac{\int{zdm}}{M}\end{array} \)

Mouvement du centre de masse

Un système est constitué de n nombres de particules ayant des masses

\(\begin{array}{l}{{m}_{1}},{{m}_{2}},{{m}_{3}},…{{m}_{n}} \end{tableau} \)

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{r}_{cm}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{{{r}_{1}}}+{{ m}_{2}}\overrightarrow{{{r}_{2}}}+{{m}_{3}}\overrightarrow{{{r}_{3}}}+…+{{m} _{n}}\overrightarrow{{{r}_{n}}}….(1)\end{array} \)

Si la masse de chaque particule du système reste constante avec le temps, pour ce système de particules de masse fixe, en différenciant l'équation ci-dessus par rapport au temps, on obtient

\(\begin{array}{l}M\frac{d\overrightarrow{{{r}_{cm}}}}{dt}={{m}_{1}}\frac{d\overrightarrow{{ {r}_{1}}}}{dt}+{{m}_{2}}\frac{d\overrightarrow{{{r}_{2}}}}{dt}+{{m}_ {3}}\frac{d\overrightarrow{{{r}_{3}}}}{dt}+…+{{m}_{n}}\frac{d\overrightarrow{{{r}_{ n}}}}{dt}….(2)\end{array} \)

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{V}_{cm}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{{{v}_{1}}}+{{ m}_{2}}\overrightarrow{{{v}_{2}}}+{{m}_{3}}\overrightarrow{{{v}_{3}}}+…+{{m} _{n}}\overrightarrow{{{v}_{n}}}….(3)\end{array} \)

Ici,

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{1}}},\overrightarrow{{{r}_{2}}},\overrightarrow{{{r}_{3}} },…\overrightarrow{{{r}_{n}}}\ \text{sont des vecteurs de position des particules individuelles 1, 2 et 3… n}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{v}_{1}}},\overrightarrow{{{v}_{2}}},\overrightarrow{{{v}_{3}} },…\overrightarrow{{{v}_{n}}}\ \text{sont des vecteurs de vitesse des particules individuelles 1, 2 et 3… n}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{r}_{cm}}}\ et\ \overrightarrow{{{V}_{cm}}}\ \text{sont le vecteur de position et le vecteur de vitesse de centre de masse.}\end{array} \)

En différenciant l'expression de la vitesse, nous obtiendrons,

\(\begin{array}{l}M\frac{d\overrightarrow{{{v}_{cm}}}}{dt}={{m}_{1}}\frac{d\overrightarrow{{ {v}_{1}}}}{dt}+{{m}_{2}}\frac{d\overrightarrow{{{v}_{2}}}}{dt}+{{m}_ {3}}\frac{d\overrightarrow{{{v}_{3}}}}{dt}+…+{{m}_{n}}\frac{d\overrightarrow{{{v}_{ n}}}}{dt}….(4)\end{array} \)

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{a}_{cm}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{{{a}_{1}}}+{{ m}_{2}}\overrightarrow{{{a}_{2}}}+{{m}_{3}}\overrightarrow{{{a}_{3}}}+…+{{m} _{n}}\overrightarrow{{{a}_{n}}}….(5)\end{array} \)

Où

\(\begin{array}{l}\text{Où}\ \overrightarrow{{{a}_{1}}},\overrightarrow{{{a}_{2}}},\overrightarrow{{{a }_{3}}},…\overrightarrow{{{a}_{n}}}\ \text{sont des vecteurs de vitesse des particules individuelles 1, 2 et 3… n et}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{a}_{cm}}}\ \text{est l'accélération du centre de masse, d'après la deuxième loi du mouvement de Newton,}\end{array} \)

La force F_jeagissant sur la ième particule est donné par,

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{{{F}_{i}}}={{m}_{i}}\overrightarrow{{{a}_{i}}}\end{array } \)

L'équation (5) ci-dessus peut s'écrire comme suit :

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{a}_{cm}}}=\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2} }}+\overrightarrow{{{F}_{3}}}+…+\overrightarrow{{{F}_{n}}}=\overrightarrow{{{F}_{{interne}}}}+\ overrightarrow{{{F}_{external}}}…..\ \ ….(6)\end{array} \)

Où F₁, F₂, F₃et F_nsont les forces agissant sur les particules individuelles 1, 2 et 3… n du système.

Les forces internes sont les forces exercées par les particules du système les unes sur les autres ; cependant, d’après la troisième loi de Newton, ces forces internes se produisent par paires d’égale ampleur et de directions opposées. Leur somme nette est donc nulle. Ensuite, l'équation ci-dessus (6) devient

\(\begin{array}{l}M\overrightarrow{{{a}_{cm}}}=\overrightarrow{{{F}_{external}}}…………(7)\end{array} \)

L'équation (7) indique que le COM du système de particules se comporte comme si toute la masse du système y était concentrée, et que la résultante de toutes les forces externes agissant sur toutes les particules du système était appliquée sur COM.

Problèmes sur le centre de masse

1.Deux tiges identiques, chacune de masse (m) et de longueur (L), sont reliées, comme le montre la figure. Localisez le centre de masse du système.

Solution:

Ce système est symétrique par rapport à l'axe des x ; par conséquent, nous devons prendre les coordonnées du CM des tiges.

M₁=M₂=M

L₁= L₂= L

Où M₁, M₂et moi₁, L₂sont la masse et la longueur de la tige 1 et de la tige 2

\(\begin{array}{l}{{x}_{cm}}=\frac{{{m}_{1}}{{x}_{1}}+{{m}_{2} }{{x}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=\frac{M\left( 0 \right)+M\left( \ frac{L}{2} \right)}{M+M}\end{array} \)

2. Un système composé de deux objets a une impulsion totale de (16 kgm/sec)i et son centre de masse a une vitesse de (2 m/s)i. Si l’un des objets a une masse de 5 kg et une vitesse (1,6 m/s)i, quelles seront la masse et la vitesse des autres objets ?

Donné

Moment total = (16 kgm/sec)i

Vitesse du centre de masse = (2 m/s)i

Masse d'un objet = 5 kg

Vitesse de cet objet = (1,6 m/s)i

Pour calculer m etν ?

Solution:

Moment total = Masse totale X×vitesse du centre de masse

(16 kgm/sec)i = (m+ 5)×(2 m/s)i

m = 3kg

MaintenantV_cm=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂)

2=(5 × 1,6 + 3 × v₂)/(5+3)

2 = (8 + 3v₂) /8

16 = 8 + 3v₂

3 contre₂= 8

v₂= (2,67 m/s)Je

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