6.1 : Concepts et figures géométriques de base (2023)

Introduction

Imaginez deux lignes séparées et distinctes sur un avion. Il existe deux possibilités pour ces lignes : soit elles se couperont en un point, soit elles ne se couperont jamais. Lorsque deux lignes se croisent, quatre angles se forment. Comprendre comment ces angles sont liés les uns aux autres peut vous aider à comprendre comment les mesurer, même si vous ne disposez d'informations que sur la taille d'un angle.

Parallèle et perpendiculaire

Les lignes parallèles sont deux ou plusieurs lignes qui ne se coupent jamais. De même, les segments de ligne parallèles sont deux segments de ligne qui ne se coupent jamais même si les segments de ligne étaient transformés en lignes qui continuaient indéfiniment. Des exemples de segments de lignes parallèles se trouvent tout autour de vous, sur les deux côtés de cette page et sur les étagères d’une bibliothèque. Lorsque vous voyez des lignes ou des structures qui semblent aller dans la même direction, ne se croisent jamais et sont toujours à la même distance, il y a de fortes chances qu’elles soient parallèles.

Les lignes perpendiculaires sont deux lignes qui se coupent à un angle (droit) de 90º. Et les segments de ligne perpendiculaires se coupent également à un angle (droit) de 90º. Vous pouvez également voir des exemples de lignes perpendiculaires partout : sur du papier millimétré, dans le tracé des routes à une intersection, jusqu'aux lignes colorées d'une chemise à carreaux. Dans notre vie quotidienne, vous pourriez être heureux d’appeler deux droites perpendiculaires si elles semblent simplement être perpendiculaires l’une par rapport à l’autre. Cependant, lorsque vous étudiez la géométrie, vous devez vous assurer que deux lignes se coupent à un angle de 90º avant de les déclarer perpendiculaires.

L'image ci-dessous montre quelques lignes parallèles et perpendiculaires. Le symbole géométrique du parallèle est ||, vous pouvez donc montrer queUN B||CD. Les lignes parallèles sont également souvent indiquées par le marquage >> sur chaque ligne (ou juste un seul > sur chaque ligne). Les lignes perpendiculaires sont indiquées par le symbole ⊥, vous pouvez donc écrire \(\overleftrightarrow{WX} ⊥ \overleftrightarrow{YZ}\).

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à une droite sera également perpendiculaire à l’autre droite. De même, si deux droites sont toutes deux perpendiculaires à la même droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Jetons un coup d'œil à un exemple et identifions certains de ces types de lignes.

Recherche de mesures d'angle

Comprendre la relation entre les lignes parallèles et perpendiculaires peut vous aider à déterminer les mesures de certains angles inconnus. Pour commencer, il suffit de se rappeler que les lignes perpendiculaires se coupent à un angle de 90° et qu’un angle droit mesure 180°.

La mesure d'un angle tel que ∠A s'écrit m∠A. Regardez l'exemple ci-dessous. Comment trouver les mesures des angles non marqués ?

Dans cet exemple, vous avez peut-être remarqué que les angles ∠HJI, ∠IJF et ∠HJM sont tous des angles droits. (Si on vous demandait de trouver la mesure de ∠FJM, vous constateriez également que cet angle est de 90º.) C'est ce qui se produit lorsque deux lignes sont perpendiculaires : les quatre angles créés par l'intersection sont tous des angles droits.

Cependant, toutes les intersections ne se font pas à angle droit. Dans l'exemple ci-dessous, remarquez comment vous pouvez utiliser la même technique que celle indiquée ci-dessus (en utilisant des angles droits) pour trouver la mesure d'un angle manquant.

Supplémentaire et complémentaire

Dans l'exemple ci-dessus, m∠BAC et m∠DAC totalisent 180º. Deux angles dont la somme des mesures donne 180º sont appelésangles supplémentaires. Il existe également un terme désignant deux angles dont les mesures totalisent 90º, on les appelleangles complémentaires.

Une façon de se rappeler la différence entre les deux termes est que « coin » et « complémentaire » commencent chacun parc(un angle de 90º ressemble à un coin), tandis que droit et « supplémentaire » commencent chacun pars(un angle droit mesure 180º).

Si vous pouvez identifier des angles supplémentaires ou complémentaires dans un problème, trouver les mesures d'angle manquantes est souvent simplement une question d'ajout ou de soustraction.

Résumé

Les lignes parallèles ne se coupent pas, tandis que les lignes perpendiculaires se croisent à un angle de 90º. Deux angles dont la somme des mesures est de 180º sont dits supplémentaires, et deux angles dont la somme des mesures est de 90º sont dits complémentaires. Pour la plupart des paires de lignes sécantes, il suffit de mesurer un angle pour trouver les mesures de tous les autres angles formés par l’intersection.

Introduction

Les formes géométriques, également appelées figures, constituent une partie importante de l’étude de la géométrie. Le triangle est l'une des formes de base de la géométrie. Il s'agit de la forme la plus simple au sein d'une classification de formes appelées polygones. Tous les triangles ont trois côtés et trois angles, mais ils se présentent sous de nombreuses formes et tailles différentes. Au sein du groupe de tous les triangles, les caractéristiques des côtés et des angles d’un triangle sont utilisées pour le classer encore plus loin. Les triangles ont des caractéristiques importantes, et comprendre ces caractéristiques vous permet d’appliquer les idées à des problèmes du monde réel.

Classer et nommer les triangles

Un polygone est une figure plane fermée comportant trois côtés droits ou plus. Les polygones ont chacun un nom spécial basé sur le nombre de côtés qu'ils possèdent. Par exemple, le polygone à trois côtés est appelé triangle car « tri » est un préfixe qui signifie « trois ». Son nom indique également que ce polygone possède trois angles. Le préfixe « poly » signifie plusieurs.

Le tableau ci-dessous montre et décrit trois classifications de triangles. Remarquez comment les types d'angles dans le triangle sont utilisés pour classer le triangle.

Nom du Triangle	Image du Triangle	Description
Triangle aigu		Un triangle à 3 angles aigus (3 angles mesurant entre 0° et 90°).
Triangle obtus		Un triangle avec 1 angle obtus (1 angle mesurant entre 90° et 180°).
Triangle rectangle		Un triangle contenant un angle droit (1 angle qui mesure 90°). Notez que l'angle droit est représenté par une marque de coin et n'a pas besoin d'être étiqueté 90°.

La somme des mesures des trois angles intérieurs d'un triangle est toujours 180°. Ce fait peut être appliqué pour trouver la mesure du troisième angle d’un triangle, si l’on vous donne les deux autres. Considérez les exemples ci-dessous.

Il existe une convention établie pour nommer les triangles. Les étiquettes des sommets du triangle, qui sont généralement des lettres majuscules, sont utilisées pour nommer un triangle.

Vous pouvez appeler ce triangleabcou ∆ABC puisqueUN,B, etCsont les sommets du triangle. Lorsque vous nommez le triangle, vous pouvez commencer par n’importe quel sommet. Gardez ensuite les lettres dans l'ordre pendant que vous parcourez le polygone. Le triangle ci-dessus pourrait être nommé de différentes manières : ∆ABC ou ∆CBA. Les côtés du triangle sont des segments de droiteUN B,CA, etCB.

Tout comme les triangles peuvent être classés comme aigus, obtus ou droits en fonction de leurs angles, ils peuvent également être classés en fonction de la longueur de leurs côtés. Les côtés de même longueur sont appelésconformecôtés. Pendant que nous désignons un segment joignant les pointsUNetBpar la notation \(\overline{AB}\), on désigne la longueur d'un segment joignant les pointsUNetBpar la notationUN Bsans barre de segment dessus. La duréeUN Best un nombre et le segment \(\overline{AB}\) est l'ensemble des points qui composent le segment.

Les mathématiciens montrent la congruence en plaçant un symbole dièse au milieu de côtés de même longueur. Si le dièse est le même sur un ou plusieurs côtés, alors ces côtés sont congrus. Si les côtés comportent des hachures différentes, ils sontpasconforme. Le tableau ci-dessous montre la classification des triangles selon leurs longueurs de côtés.

Nom du Triangle	Image du Triangle	Description
Triangle équilatéral		Un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ces côtés de même longueur sont appelés côtés congrus.
Triangle isocèle		Un triangle avec exactement deux côtés congruents.
Triangle scalène		Un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes.

Pour décrire un triangle encore plus spécifiquement, vous pouvez utiliser des informations sur ses côtés et ses angles. Considérez cet exemple.

Identifier les triangles congruents et similaires

Deux triangles sont congrus s’ils ont exactement la même taille et la même forme. Dans les triangles congruents, les mesures deangles correspondantset les longueurs decôtés correspondantssont égaux. Considérons les deux triangles ci-dessous :

Puisque ∠B et ∠E sont des angles droits, ces triangles sont des triangles rectangles. Appelons ces deux triangles ∆ABC et ∆DEF. Ces triangles sont congruents si chaque paire de côtés correspondants a des longueurs égales et si chaque paire d'angles correspondants a la même mesure.

Les côtés correspondants sont opposés aux angles correspondants.

↔ signifie « correspond à »

∠B ↔ ∠E

∠A ↔ ∠D

∠C ↔ ∠F

\(\overline{AB}\) ↔ \(\overline{DE}\)

\(\overline{AC}\) ↔ \(\overline{DF}\)

\(\overline{BC}\) ↔ \(\overline{EF}\)

∆ABC et ∆DEF sont des triangles congrus car les côtés correspondants et les angles correspondants sont égaux.

Jetons un coup d'œil à une autre paire de triangles. Ci-dessous se trouvent les triangles ∆ABC et ∆RST.

Ces deux triangles ne sont sûrement pas congruents car ∆RST est nettement plus petit que ∆ABC. Mais même s’ils n’ont pas la même taille, ils se ressemblent. Ils ont la même forme. Les angles correspondants de ces triangles semblent avoir la même mesure exacte, et si c'était le cas, ils seraient des angles congruents et nous appellerions les triangles des triangles similaires.

Les angles congrus sont marqués de traits dièses, tout comme les côtés congrus.

Nous pouvons également afficher des angles congruents en utilisant plusieurs bandes dans l'angle, plutôt que plusieurs hachages sur une bande. Vous trouverez ci-dessous une image utilisant plusieurs bandes dans l'angle.

Si les angles correspondants de deux triangles ont les mêmes mesures, ils sont appeléstriangles similaires. Ce nom a du sens car ils ont la même forme, mais pas forcément la même taille. Lorsqu’une paire de triangles est semblable, les côtés correspondants sont proportionnels l’un à l’autre. Cela signifie qu’il existe un facteur d’échelle cohérent qui peut être utilisé pour comparer les côtés correspondants. Dans l’exemple précédent, les longueurs des côtés du plus grand triangle sont toutes 1,4 fois supérieures à la longueur du plus petit. Ainsi, les triangles semblables sont proportionnels les uns aux autres.

Juste parce que deux trianglesregardersimilaire ne veut pas dire qu'ilssonttriangles similaires au sens mathématique du terme. Vérifier que les angles correspondants ont la même mesure est une façon de s’assurer que les triangles sont similaires.

Côtés correspondants de triangles similaires

Il existe une autre méthode pour déterminer la similarité des triangles, qui consiste à comparer les rapports des longueurs des côtés correspondants.

Si les rapports des paires de côtés correspondants sont égaux, les triangles sont semblables.

Considérez les deux triangles ci-dessous.

∆ABC estpascongru à ∆DEF car les longueurs des côtés de ∆DEF sont plus longues que celles de ∆ABC. Alors, ces triangles sont-ils similaires ? Si tel est le cas, les côtés correspondants doivent être proportionnels.

Puisque ces triangles sont orientés de la même manière, vous pouvez associer les côtés gauche, droit et inférieur : \(\overline{AB}\) et \(\overline{DE}\), \(\overline{BC}\ ) et \(\overline{EF}\), \(\overline{AC}\) et \(\overline{DF}\). (Vous pourriez les appeler les deux côtés les plus courts, les deux côtés les plus longs et les deux côtés restants et arriver aux mêmes rapports). Nous allons maintenant examiner les rapports de leurs longueurs.

\( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{EF}} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{DF }} \)

En remplaçant les valeurs de longueur des côtés dans la proportion, vous voyez que c'est vrai :

\( \dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{6}{18} \)

Si les côtés correspondants sont proportionnels, alors les triangles sont semblables. Les triangles ABC et DEF sont semblables mais non congruents.

Utilisons cette idée de côtés correspondants proportionnels pour déterminer si deux autres triangles sont similaires.

Le symbole mathématique ~ signifie « est similaire à ». Ainsi, vous pouvez écrire ∆ABC est similaire à ∆DEF sous la forme ∆ABC ~ ∆DEF.

Trouver des mesures manquantes dans des triangles similaires

Vous pouvez trouver les mesures manquantes dans un triangle si vous connaissez certaines mesures d'un triangle similaire. Regardons un exemple.

Ce processus est assez simple, mais veillez à ce que vos rapports représentent les côtés correspondants, en rappelant que les côtés correspondants sont des angles correspondants opposés.

Résoudre des problèmes d'application impliquant des triangles similaires

Appliquer la connaissance des triangles, de la similarité et de la congruence peut être très utile pour résoudre des problèmes dans la vie réelle. Tout comme vous pouvez résoudre les longueurs manquantes d'un triangle dessiné sur une page, vous pouvez utiliser des triangles pour trouver des distances inconnues entre des emplacements ou des objets.

Prenons l'exemple de deux arbres et de leurs ombres. Supposons que le soleil brille sur deux arbres, l’un mesurant 6 pieds de haut et l’autre dont la hauteur est inconnue. En mesurant la longueur de chaque ombre au sol, vous pouvez utiliser la similarité triangulaire pour trouver la hauteur inconnue du deuxième arbre.

Voyons d’abord où se trouvent les triangles dans cette situation. Les arbres eux-mêmes créent une paire de côtés correspondants. Les ombres projetées sur le sol sont une autre paire de côtés correspondants. Le troisième côté de ces triangles imaginaires similaires s’étend du sommet de chaque arbre jusqu’à la pointe de son ombre au sol. C'est l'hypoténuse du triangle.

Si vous savez que les arbres et leurs ombres forment des triangles similaires, vous pouvez définir une proportion pour trouver la hauteur de l'arbre.

Résumé

Les triangles sont l'une des formes de base du monde réel. Les triangles peuvent être classés selon les caractéristiques de leurs angles et de leurs côtés, et les triangles peuvent être comparés sur la base de ces caractéristiques. La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180º. Les triangles congrus sont des triangles de même taille et de même forme. Ils ont des côtés correspondants de même longueur et des angles correspondants de même mesure. Des triangles semblables ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. La connaissance des triangles peut être utile pour résoudre des problèmes du monde réel.

Introduction

Il y a bien longtemps, un mathématicien grec nomméPythagorasdécouvert une propriété intéressante surtriangles rectangles: la somme des carrés des longueurs de chacun des trianglesjambesest égal au carré de la longueur du trianglehypoténuse. Cette propriété, qui a de nombreuses applications dans les domaines de la science, de l'art, de l'ingénierie et de l'architecture, est désormais appelée leThéorème de Pythagore.

Voyons comment ce théorème peut vous aider à en apprendre davantage sur la construction des triangles. Et le meilleur : vous n’avez même pas besoin de parler grec pour appliquer la découverte de Pythagore.

Le théorème de Pythagore

Pythagore a étudié les triangles rectangles et les relations entre les jambes et l'hypoténuse d'un triangle rectangle avant d'en tirer sa théorie.

Dans la case ci-dessus, vous avez peut-être remarqué le mot « carré », ainsi que les petits 2 en haut à droite des lettres de \(a^2 + b^2 = c^2\). Mettre un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même. Ainsi, par exemple, pour mettre au carré le nombre \(5\), vous multipliez \(5 \cdot 5\), et pour mettre au carré le nombre \(12\), vous multipliez \(12 \cdot 12\). Certains carrés courants sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Lorsque vous voyez l'équation \(a^2 + b^2 = c^2\), vous pouvez considérer cela comme « la longueur du côtéunfois lui-même, plus la longueur du côtébfois elle-même est la même que la longueur du côtécfois lui-même.

Essayons tout le théorème de Pythagore avec un vrai triangle rectangle.

Ce théorème est vrai pour ce triangle rectangle : la somme des carrés des longueurs des deux jambes est la même que le carré de la longueur de l'hypoténuse. Et en fait, cela est vrai pour tous les triangles rectangles.

Le théorème de Pythagore peut également être représenté en termes d’aire. Dans tout triangle rectangle, l’aire du carré tiré de l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés tirés des deux branches. Vous pouvez voir cela illustré ci-dessous dans le même triangle rectangle 3-4-5.

Notez que le théorème de Pythagore ne fonctionne qu'avecdroiteTriangles.

Trouver la longueur de l'hypoténuse

Vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle si vous connaissez la longueur des deux autres côtés du triangle, appelés jambes. Autrement dit, si vous connaissez les longueurs deunetb, tu peux trouverc.

Dans le triangle ci-dessus, on vous donne les mesures des jambesunetB :5 et 12, respectivement. Vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore pour trouver une valeur pour la longueur dec, l'hypoténuse.

Le théorème de Pythagore.

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Remplacez les valeurs connues parunetb.

\((5)^2 + (12)^2 = c^2\)

Évaluer.

\(25 + 144 = c^2\)

Simplifier. Pour trouver la valeur dec, pensez à un nombre qui, multiplié par lui-même, est égal à 169. 10, ça marche ? Et 11 heures ? 12? 13 ? (Vous pouvez utiliser une calculatrice pour multiplier si les nombres ne vous sont pas familiers.)

\(169 = c^2\)

La racine carrée de 169 est 13.

\(c = 13\)

En utilisant la formule, vous constatez que la longueur dec,l'hypoténuse, est 13.

Dans ce cas, vous ne connaissiez pas la valeur dec- on vous a donné le carré de la longueur de l'hypoténuse et vous avez dû le calculer à partir de là. Lorsqu'on vous donne une équation telle que \(169 = c^2\) et qu'on vous demande de trouver la valeur dec,c'est ce qu'on appelle trouver leracine carréed'un nombre. (Remarquez que vous avez trouvé un numéro,c, dont le carré était 169.)

Trouver une racine carrée demande un peu de pratique, mais cela demande également des connaissances en multiplication, en division et un peu d'essais et d'erreurs. Regardez le tableau ci-dessous.

C'est une bonne habitude de se familiariser avec les carrés des nombres de 0 à 10, car ils apparaissent fréquemment en mathématiques. Si vous parvenez à vous souvenir de ces nombres carrés – ou si vous pouvez utiliser une calculatrice pour les trouver – alors trouver de nombreuses racines carrées communes ne sera qu’une question de rappel.

Trouver la longueur d'une jambe

Vous pouvez utiliser la même formule pour trouver la longueur de la jambe d’un triangle rectangle si l’on vous donne des mesures pour les longueurs de l’hypoténuse et de l’autre jambe. Prenons l'exemple ci-dessous.

Utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes du monde réel

Le théorème de Pythagore est peut-être l’une des formules les plus utiles que vous apprendrez en mathématiques, car il existe de nombreuses applications dans des contextes réels. Les architectes et les ingénieurs utilisent largement cette formule lors de la construction de rampes, de ponts et de bâtiments. Regardez les exemples suivants.

Résumé

Le théorème de Pythagore stipule que dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des jambes du triangle est la même que le carré de la longueur de l’hypoténuse du triangle. Ce théorème est représenté par la formule 222 abc + = . En termes simples, si vous connaissez les longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle, vous pouvez appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la longueur du troisième côté. N'oubliez pas que ce théorème ne fonctionne que pour les triangles rectangles.