11.4 : Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule quadratique (2023)

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

1. Évaluez \(b^{2}-4 a b\) lorsque \(a=3\) et \(b=−2\).
2. Simplifiez \(\sqrt{108}\).
3. Simplifiez \(\sqrt{50}\).

Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule quadratique

Lorsque nous avons résolu les équations quadratiques de la dernière section en complétant le carré, nous avons suivi les mêmes étapes à chaque fois. À la fin de la série d’exercices, vous vous demandez peut-être « n’existe-t-il pas un moyen plus simple de procéder ? » La réponse est « oui ». Les mathématiciens recherchent des modèles lorsqu'ils répètent des choses afin de faciliter leur travail. Dans cette section, nous allons dériver et utiliser une formule pour trouver la solution d’une équation quadratique.

Nous avons déjà vu comment résoudre une formule pour une variable spécifique « en général », de sorte que nous effectuions les étapes algébriques une seule fois, puis utilisions la nouvelle formule pour trouver la valeur de la variable spécifique. Nous allons maintenant passer par les étapes permettant de compléter le carré en utilisant la forme générale d'une équation quadratique pour résoudre une équation quadratique pour \(x\).

Nous commençons par la forme standard d’une équation quadratique et la résolvons pour \(x\) en complétant le carré.

L'équation finale est appelée « formule quadratique ».

Pour utiliser leFormule quadratique, nous remplaçons les valeurs de \(a,b\) et \(c\) de la forme standard dans l'expression du côté droit de la formule. Ensuite, nous simplifions l'expression. Le résultat est la paire de solutions de l’équation quadratique.

Notez que la formule quadratique (équation \ref{quad}) est une équation. Assurez-vous d'utiliser les deux côtés de l'équation.

Si vous prononcez la formule au fur et à mesure que vous l’écrivez dans chaque problème, vous la mémoriserez en un rien de temps ! Et rappelez-vous, la formule quadratique est une ÉQUATION. Assurez-vous de commencer par « \(x=\) ».

Exemple \(\PageIndex{2}\)

Résolvez en utilisant la formule quadratique : \(x^{2}-6 x=-5\).

Solution:

	\(x^{2}-6 x=-5\)
Écrivez l'équation sous forme standard en ajoutant \(5\) à chaque côté.	\(x^{2}-6x+5=0\)
Cette équation est maintenant sous forme standard.	\({\color{red}{\small{ax^2+bx + c} = \small{0}}}\) \(x^2 - 6x + 5 = 0\)
Identifiez les valeurs de \(\color{cyan}a\), \(\color{red}b\), \(\color{limegreen}c\).	\({\color{cyan}a=1}\), \({\color{red}b=-6}\), \({\color{limegreen}c=5}\)
Écrivez la formule quadratique.	\(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
Remplacez ensuite les valeurs de \(a, b, c\).	\(x=\dfrac{-\color{red} (-6 ) \color{black} \pm \sqrt{\color{red}(-6) \color{black}^{2}-4 \cdot \ couleur{cyan}1 \color{noir} \cdot ( \color{limegreen}5 \color{black})}}{2 \cdot \color{cyan} 1} \)
Simplifier.	\(x=\dfrac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2}\) \(x=\dfrac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\) \(x=\dfrac{6 \pm 4}{2}\)
Réécrivez pour montrer deux solutions.	\(x=\frac{6+4}{2}, \quad x=\frac{6-4}{2}\)
Simplifier.	\(x=\frac{10}{2}, \quad x=\frac{2}{2}\)
	\(x=5, \quad x=1\)
Vérifier:

Lorsque nous résolvions des équations quadratiques en utilisant la propriété racine carrée, nous obtenions parfois des réponses contenant des radicaux. Cela peut également arriver lors de l'utilisation duFormule quadratique. Si nous obtenons unradicalcomme solution, la réponse finale doit avoir le radical dans sa forme simplifiée.

Exemple \(\PageIndex{3}\)

Résolvez en utilisant la formule quadratique : \(2 x^{2}+10 x+11=0\).

See Also

Fonction quadratique - Forme standard, formule, exemples

Solution:

Cette équation est sous forme standard.
Identifiez les valeurs de \(a,b\) et \(c\).
Écrivez la formule quadratique.	\(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
Remplacez ensuite les valeurs de \(a, b\) et \(c\).
Simplifier.	\(x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{100-88}}{4}\)
	\(x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{12}}{4}\)
Simplifiez le radical.	\(x=\dfrac{-10 \pm 2 \sqrt{3}}{4}\)
Factorisez le facteur commun au numérateur.	\(x=\dfrac{\color{red}{2}(-5 \pm \sqrt{3})}{4}\)
Supprimez les facteurs communs.	\(x=\dfrac{-5 \pm \sqrt{3}}{2}\)
Réécrivez pour montrer deux solutions.	\(x=\dfrac{-5+\sqrt{3}}{2}, \quad x=\dfrac{-5-\sqrt{3}}{2}\)
Vérifier: Nous vous laissons le chèque !

Lorsque nous substituons \(a, b\) et \(c\) dans la formule quadratique et que leradicanest négatif, l'équation quadratique aura des solutions imaginaires ou complexes. Nous verrons cela dans l’exemple suivant.

Exemple \(\PageIndex{4}\)

Résolvez en utilisant la formule quadratique : \(3 p^{2}+2 p+9=0\).

Solution:

Tableau 9.3.5

Cette équation est sous forme standard.
Identifiez les valeurs de \(a,b,c\).
Écrivez la formule quadratique.
Remplacez ensuite les valeurs de \(a,b,c\).
Simplifier.
Simplifiez le radical en utilisant des nombres complexes.
Simplifiez le radical.
Factorisez le facteur commun au numérateur.
Supprimez les facteurs communs.
Réécrivez sous la forme standard \(a+bi\).
Écrivez sous forme de deux solutions.

N'oubliez pas que pour utiliser la formule quadratique, l'équation doit être écrite sous forme standard, \(a x^{2}+b x+c=0\). Parfois, nous devrons faire un peu d’algèbre pour mettre l’équation sous forme standard avant de pouvoir utiliser la formule quadratique.

Exemple \(\PageIndex{5}\)

Résolvez en utilisant la formule quadratique : \(x(x+6)+4=0\).

Solution:

Notre première étape consiste à obtenir l’équation sous forme standard.

Tableau 9.3.6

Distribuez pour obtenir l’équation sous forme standard.
Cette équation est maintenant sous forme standard.
Identifiez les valeurs de \(a,b,c\).
Écrivez la formule quadratique.
Remplacez ensuite les valeurs de \(a,b,c\).
Simplifier.
Simplifiez le radical.
Factorisez le facteur commun au numérateur.
Supprimez les facteurs communs.
Écrivez sous forme de deux solutions.
Vérifier: Nous vous laissons le chèque !

Lorsque nous résolvions des équations linéaires, si une équation contenait trop de fractions, nous effaçions les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. Cela nous a donné une équation équivalente – sans fractions – à résoudre. Nous pouvons utiliser la même stratégie avec les équations quadratiques.

Exemple \(\PageIndex{6}\)

Résolvez en utilisant la formule quadratique : \(\dfrac{1}{2} u^{2}+\dfrac{2}{3} u=\dfrac{1}{3}\).

Solution:

Notre première étape consiste à effacer les fractions.

Tableau 9.3.7

Multipliez les deux côtés par l'écran LCD, \(6\), pour effacer les fractions.
Multiplier.
Soustrayez \(2\) pour obtenir l’équation sous forme standard.
Identifiez les valeurs de \(a, b\) et \(c\).
Écrivez la formule quadratique.
Remplacez ensuite les valeurs de \(a, b,\) et \(c\).
Simplifier.
Simplifiez le radical.
Factorisez le facteur commun au numérateur.
Supprimez les facteurs communs.
Réécrivez pour montrer deux solutions.
Vérifier: Nous vous laissons le chèque !

Pensez à l'équation \((x-3)^{2}=0\). Nous savons duPropriété du produit zéroque cette équation n'a qu'une seule solution, \(x=3\).

Nous verrons dans l'exemple suivant comment utiliser leFormule quadratiquerésoudre une équation dont la forme standard est un carré parfaittrinômeégal à \(0\) donne une seule solution. Notez qu’une fois le radicand simplifié, il devient \(0\), ce qui ne conduit qu’à une seule solution.

Exemple \(\PageIndex{7}\)

Résolvez en utilisant la formule quadratique : \(4 x^{2}-20 x=-25\).

Solution:

Tableau 9.3.8

Ajoutez \(25\) pour obtenir l’équation sous forme standard.
Identifiez les valeurs de \(a, b\) et \(c\).
Écrivez la formule quadratique.
Remplacez ensuite les valeurs de \(a, b\) et \(c\).
Simplifier.
Simplifiez le radical.
Simplifiez la fraction.
Vérifier: Nous vous laissons le chèque !

Saviez-vous que \(4 x^{2}-20 x+25\) est un trinôme carré parfait. C'est équivalent à \((2 x-5)^{2}\) ? Si vous résolvez \(4 x^{2}-20 x+25=0\) en factorisant puis en utilisant la propriété racine carrée, obtenez-vous le même résultat ?

Utilisez le discriminant pour prédire le nombre et le type de solutions d'une équation quadratique

Lorsque nous résolvons les équations quadratiques des exemples précédents, nous obtenons parfois deux solutions réelles, une solution réelle et parfois deux solutions complexes. Existe-t-il un moyen de prédire le nombre et le type de solutions à une équation quadratique sans réellement résoudre l’équation ?

Oui, l’expression sous le radical de la formule quadratique nous permet de déterminer facilement le nombre et le type de solutions. Cette expression s'appelle lediscriminant.

Définition \(\PageIndex{2}\)

Discriminant

Examinons le discriminant des équations dans certains exemples ainsi que le nombre et le type de solutions à ces équations quadratiques.

Identifier la méthode la plus appropriée à utiliser pour résoudre une équation quadratique

Nous résumons ci-dessous les quatre méthodes que nous avons utilisées pour résoudre les équations quadratiques.

Concepts clés

• Formule quadratique
  • Les solutions d'une équation quadratique de la forme \(a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0\) sont données par la formule :

    \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

• Comment résoudre une équation quadratique à l'aide de la formule quadratique.
  1. Écrivez l'équation quadratique sous forme standard, \(a x^{2}+b x+c=0\). Identifiez les valeurs de \(a, b, c\).
  2. Écrivez la formule quadratique. Remplacez ensuite les valeurs de \(a, b, c\).
  3. Simplifier.
  4. Vérifiez les solutions.
• Utilisation du discriminant, \(b^{2}-4 a c\), pour déterminer le nombre et le type de solutions d'une équation quadratique
  • Pour une équation quadratique de la forme \(a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0\),
    • Si \(b^{2}-4 a c>0\), l'équation a \(2\) solutions réelles.
    • Si \(b^{2}-4 a c=0\), l'équation a \(1\) solution réelle.
    • Si \(b^{2}-4 a c<0\), l'équation a \(2\) solutions complexes.
• Méthodes pour résoudre des équations quadratiques :
  • Affacturage
  • Propriété racine carrée
  • Compléter la place
  • Formule quadratique
• Comment identifier la méthode la plus appropriée pour résoudre une équation quadratique.
  1. Essayez d'abord la factorisation. Si les facteurs quadratiques sont faciles, cette méthode est très rapide.
  2. Essaie lePropriété racine carréesuivant. Si l'équation correspond à la forme \(a x^{2}=k\) ou \(a(x-h)^{2}=k\), elle peut facilement être résolue en utilisant la propriété racine carrée.
  3. Utilisez leFormule quadratique.Toute autre équation quadratique est mieux résolue en utilisant la formule quadratique.

Glossaire

discriminant

Dans la formule quadratique, \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\), la quantité \(b^{2}-4 a c\) est appelé le discriminant.