1.1 : Termes de géométrie (2023)

Définitions géométriques

UNindiquerest un emplacement exact dansespace. Il décrit un emplacement, mais n'a pas de taille. Des exemples sont présentés ci-dessous :

UNdoublerc'est une infinité de points qui s'étendent éternellement dans les deux directions. Les lignes ont une direction et un emplacement et sonttoujours droit.

UNavionest une surface plane qui contient une infinité de lignes qui se croisent et s'étendent à l'infini dans toutes les directions. Considérez un avion comme une immense feuille de papier sans épaisseur qui s’étend indéfiniment.

On peut utiliserindiquer,doubler, etavionpour définir de nouveaux termes.

Espaceest l'ensemble de tous les points s'étendant danstrois dimensions. Repensez à l'avion. Il s'étendait dans deux dimensions, ce que nous considérons comme haut/bas et gauche/droite. Si l’on ajoute une troisième dimension, perpendiculaire aux deux autres, on arrive à un espace tridimensionnel.

Les points qui se trouvent sur la même ligne sontcolinéaire. \(P\),\(Q\),\(R\),\(S\) et \(T\) sont colinéaires car ils sont tous sur la ligne \(w\). Si un point U était situé au-dessus ou au-dessous de la ligne w, ce seraitnon colinéaire.

Les points et/ou lignes dans le même plan sontcoplanaire. Les lignes h et i et les points \(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(G\) et \(K\) sontcoplanairedans le plan \(J\). La ligne \(\overleftrightarrow{KF}\) et le point \(E\) sontnon coplanaireavec le plan \(J\).

Unpoint finalest un point à la fin d'unsegment de ligne. UNsegment de ligneest une partie d'une ligne avec deux extrémités. Ou encore, c'est une partie finie d'une ligne qui s'arrête aux deux extrémités. Les segments de ligne sont étiquetés par leurs extrémités. L'ordre n'a pas d'importance.

UNrayonfait partie d'une ligne. Il commence par un point final et s'étend indéfiniment à partir du point final dans une direction, parfaitement droite. Un rayon est étiqueté par son extrémité et un autre point sur le rayon. Pour les raies, l’ordre compte. Lors de l'étiquetage, placez le point final sous le côté SANS la flèche.

Unintersectionest un point ou un ensemble de points où des lignes, des plans, des segments ou des rayons se chevauchent.

Postulats

UNpostulatest une règle fondamentale de la géométrie. Les postulats sont supposés vrais (plutôt que prouvés), tout comme les définitions. Ce qui suit est une liste de quelques postulats de base.

Postulat n°1 :Étant donné deux points distincts, il existe exactement une ligne (droite) contenant ces deux points.

Postulat n°2 :Étant donné trois points non colinéaires, il existe exactement un plan contenant ces trois points.

Postulat n°3 :Si une droite et un plan partagent deux points, alors la droite entière se trouve dans le plan.

Postulat n°4 :Si deux lignes distinctes se coupent, l’intersection sera un point.

Les lignes \(I\) et \(m\) se coupent au point \(A\).

Postulat n°5 :Si deux plans distincts se coupent, l'intersection sera une ligne.

Figure \(\PageIndex{13}\)

Lorsque vous réalisez des dessins géométriques, assurez-vous d’être clair et d’étiqueter tous les points et lignes.

Et si on vous donnait l’image d’une figure ou d’un objet, comme une carte sur laquelle sont indiquées des villes et des routes ? Comment pourriez-vous expliquer cette image géométriquement ?

Exemple \(\PageIndex{2}\)

Utilisez l’image ci-dessous pour répondre à ces questions.

Chiffre \(\Index des pages{14}\)

1. Énumérez une autre façon d’étiqueter Plane \(J\).
2. Énumérez une autre façon d’étiqueter la ligne \(h\).
3. \(K\) et \(F\) sont-ils colinéaires ?
4. Sont \(E\),\(B\) et \(F\) coplanaires ?

Solution

1. L'avion \(BDG\) est une possibilité. Toute combinaison de trois points coplanaires non colinéaires serait correcte.
2. \(\overleftrightarrow{AB}\). Toute combinaison de deux des lettres \(A\), \(B\) ou \(C\) serait également correcte.
3. Oui, ils se trouvent tous les deux sur \(\overleftrightarrow{KF}\).
4. Oui, même si \(E\) n'est pas dans le plan \(J\), trois points quelconques forment un plan distinct. Par conséquent, les trois points créent le plan \(EBF\).

Exemple \(\PageIndex{4}\)

Répondez aux questions suivantes à propos de l’image.

1. La ligne \(l\) est-elle coplanaire avec le plan \(V\), le plan \(W\), les deux ou aucun des deux ?
2. Sont \(R\) et \(Q\) colinéaires ?
3. Quel point n'appartient ni au plan V ni au plan \(W\) ?
4. Énumérez trois points dans le plan \(W\).

Solution

1. Ni l'un ni l'autre
2. Oui
3. S
4. N'importe quelle combinaison de \(P\), \(O\), \(T\) et \(Q\) fonctionnerait.

Exemple \(\PageIndex{5}\)

Dessinez et étiquetez une figure correspondant à la description suivante : La ligne \(\overleftrightarrow{AB}\) et le rayon \(\overrightarrow{CD}\) se coupent au point \(C)\. Ensuite, redessinez pour que la figure soit différente mais reste fidèle à la description.

Solution

Ni la position de A ou B sur la ligne, ni la direction vers laquelle pointe \(\overrightarrow{CD}\) n'ont d'importance.

Pour la deuxième partie, voici une façon de dessiner le diagramme différemment :

Revoir

Pour les questions 1 à 5, dessinez et étiquetez une figure correspondant aux descriptions.

1. \(\overrightarrow{CD}\) coupant \(\overline{AB}\) et le plan \(P\) contenant \(\overline{AB}\) mais pas \(\overrightarrow{CD}\).
2. Trois points colinéaires \(A\), \(B\) et \(C\). \(B\) est également colinéaire aux points \(D\) et \(E\).
3. \(\overrightarrow{XY}\), \(\overrightarrow{XZ}\) et \(\overrightarrow{XW}\), tels que \(\overrightarrow{XY}\) et \(\overrightarrow{XZ} \) sont coplanaires, mais \(\overrightarrow{XW}\) n'est pas coplanaire avec les deux autres rayons.
4. Deux plans sécants, \(P\) et \(Q\), avec \(\overline{GH}\), où \(G\) est dans le plan \(P\) et \(H\) est dans le plan \(Q\).
5. Quatre points non colinéaires \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\), avec des segments de ligne reliant tous les points les uns aux autres.
6. Nommez cette ligne de cinq manières.

7. Nommez la figure géométrique de trois manières différentes.

8. Nommez la figure géométrique de deux manières différentes.

9. Quel est le meilleur modèle géométrique possible pour un terrain de football ? Expliquez votre réponse.
10. Citez deux exemples d’endroits où vous voyez des raies dans la vraie vie.
11. Quel type d’objet géométrique est l’intersection d’une ligne et d’un plan ? Dessine ta réponse.
12. Quelle est la différence entre un postulat et unthéorème?

Pour les 13-16 ans, utilisez la notation géométrique pour expliquer chaque image avec autant de détails que possible.

13. 

14. 

15. 

    Figure \(\PageIndex{23}\)

16. 

Pour 17-25, déterminez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

17. Deux points quelconques sont colinéaires.
18. Trois points quelconques déterminent un plan.
19. Une ligne est constituée de deux rayons ayant une extrémité commune.
20. Un segment de droite est une infinité de points entre deux extrémités.
21. Un point prend de la place.
22. Une ligne est unidimensionnelle.
23. Quatre points quelconques sont coplanaires.
24. \(\overrightarrow{AB}\) pourrait être lu « rayon \(AB\) » ou « rayon \(BA\). »
25. \(\overleftrightarrow{AB}\) pourrait être lu « ligne \(AB\) » ou « ligne \(BA\). »

Révision (Réponses)

Pour voir les réponses à l'examen, ouvrez cecifichier PDFet recherchez la section 1.1.

Vocabulaire

Ressources additionnelles

Vidéo : Principes de base des définitions géométriques – Basique

Activités : Définitions géométriques de base Questions de discussion

Aides à l'étude : Guide d'étude des bases de la géométrie

Pratique : Termes de géométrie

Monde réel : définitions géométriques de base